Una (vecchia) rivoluzione nella matematica
Di Maurizio Codogno

– in riferimento a un articolo diFranklin Quinn, A Revolution in Mathematics? What Really Happened a Century Ago and Why It Matters Today (pdf)

“La rivoluzione avviene tra il 1890, quando Peano tira fuori dal cappello la sua curva che riempie un quadrato e fa capire come il concetto di “curva” fosse molto sottovalutato, e il 1931, con appunto la pubblicazione del teorema di Gödel.

La curva di Peano – 1890 (wikipedia)

Il problema con la “nuova matematica” è che la richiesta di definizioni estremamente precise e di dimostrazioni giustificate passo per passo ha segnato una rottura con l’abitudine plurimillenaria (sì, ce l’avevano anche i greci, finanche Euclide, per non parlare di Archimede…) di avere un ragionamento matematico che si appoggiava su considerazioni fisiche, e che quindi non era formalmente corretto – una curva fisica non si comporterà mai come la curva di Peano! – ma funzionava in pratica. Questo è l’approccio usato ancora oggi dai fisici, quello per cui una “well-behaved function” è definita come “funzione a cui si possono applicare i teoremi che ci servono”. Il guaio con questa definizione è che occorre sempre rifarsi non solamente a qualcosa di esterno – per l’appunto il mondo reale – ma anche usare il nostro raziocinio per capire come applicare il teorema alla realtà. Questo è sempre capitato: anche Euclide, con le sue non-definizioni “punto è ciò che non ha parti / retta è lunghezza senza larghezza” chiede al lettore di prendere punti e rette ben reali e astrarne in qualche modo le caratteristiche desiderate.

Ma questo è l’approccio che Hilbert non voleva affatto: a lui la matematica interessava come “gioco formale” che aveva bisogno di definizioni precise e dimostrazioni logicamente complete. … Il gioco formale è quello usato da Russell e Whitehead, con la paginata di simboli che permette di essere certi che 1+1=2; è quello che qualche decennio dopo userà Bourbaki, con il suo tentativo di riformare la matematica in modo che un libro di geometria non avesse figure (e per fortuna non c’è riuscito). È anche quello che Gödel ha rotto con i suoi teoremi di indecidibilità: Quinn afferma che se Hilbert avesse pensato di definire “vero” come “impossibile da contraddire” quei teoremi non avrebbero avuto tutto quell’effetto dirompente, ma così non è stato, ed è inutile piangere sulla definizione sprecata.

Felix Klein (bottiglia di Klein) è stato fondamentalmente un didattico, prima nella geometria e poi nel 1908 con il suo testo fondamentale Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus (matematica elementare da punti di vista superiori). Bene, il sistema educativo scolastico ha continuato per tutto il secolo a seguire l’approccio kleiniano: i tentativi come quello della “nuova matematica” negli anni 1960 e 1970 nel mondo anglosassone – e un po’ più tardi da noi – sono stati fallimentari, e si è così scelto di aggiornare i metodi ma non l’impianto di base di Klein. Risultato? Diventa ancora più difficile formare i matematici, perché quando arrivano all’università bisogna ricominciare da zero e spiegar loro come si fanno davvero le cose, con il rischio di scoprire che molti di quelli che erano “bravi in matematica” in realtà non sono bravi in “matematica”…

Quinn termina il suo articolo notando come nei decenni il nucleo dei matematici di base si è arroccato nella sua torre d’avorio; potevano farlo perché tanto la matematica di base è autodefinita, ma oggi questa torre si sta sgretolando perché i fondi a disposizione sono sempre di meno e tendono a essere spostati verso la matematica applicata… anche se poi nessuno può garantire che la matematica pura resterà tale nei secoli. Aggiunge poi che a suo giudizio oramai i matematici applicati sono così tanto separati dalla realtà matematica di punta che probabilmente non li si dovrebbe nemmeno chiamare matematici ma “scienziati”, e mi è parso di leggere il disprezzo verso i loro metodi più che altro empirici. Fin qua sono abbastanza d’accordo con lui; ma la sua soluzione, spostare le risorse sul lato dell’educazione e completare la rivoluzione dell’inizio del secolo scorso fin dalle scuole elementari, mi pare francamente improponibile e inutile.”